Сухое покашливание больше похоже на аллергию, возможно кашляет на цветение какого-то растения. Не давайте никаких сиропов, можете усугубить, если ребёнок аллергик.
Отпаивайте и понаблюдайте, кашляет ли больше в помещении или вне его. В помещении может быть на плесень или моющие средства.